Claude Espinasse urodził się 15 czerwca 1936 r. w Neuilly-sur-Seine pod Paryżem. Był jedynym synem Pierre'a Brasseura i Odette Joyeux, wybitnych aktorów, którzy rozstali się wkrótce po jego urodzeniu. Podobnie jak ojciec, aktor przyjął imię swojej babci. Claude był również chrześniakiem amerykańskiego pisarza Ernesta Hemingwaya.
Pierwsze zawodowe kroki Brasseur stawiał w dziennikarstwie, ale pociągał go zawsze teatr; pobierał lekcje aktorstwa i wstąpił do konserwatorium; kontynuował wielką rodzinną linię komików teatralnych. Natomiast pierwsze kroki na scenie stawiał w 1954 roku w sztuce Marcela Pagnola; pojawił się także w kinie - w filmach Georgesa Lampina i Marcela Carne.
Swoją karierę w kinie kontynuował z takimi reżyserami, jak Jean-Luc Godard czy Francois Truffaut; był także znany dzięki serialom w telewizji, jak „” czy „”.
Służył jako spadochroniarz
Brasseur wcielił się m.in. w rolę inspektora w filmie „Oczy bez twarzy”, rolę Jacquesa Fusha w „Wojnie policji” czy też Francois Berettona w dwóch częściach filmu „Prywatka”. W 1977 r otrzymał Cezara za najlepszą drugoplanową rolę w filmie „Słoń, który ogromnie oszukuje”, a w 1980 r został uznany za najlepszego aktora w „Wojnie policji”. Jego sukcesami były taż filmy „La Boum” czy „Camping”.
Przez trzy lata służył jako spadochroniarz w ogarniętej wojną Algierii. Brał również udział w kilku rajdach samochodowych Paryż-Dakar oraz w zawodach bobslejowych.
Był żonaty od 1970 roku z Michele Cambon, z którą miał syna, Alexandre’a Brasseura, także aktora.
W swojej biografii, zatytułowanej "Dziękuję", zapisał, że miał bardzo szczęśliwe życie, ale zawsze brakowało mu miłości rodziców.
